Question

6．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为20$\sqrt{3}$米．

Answer 1

分析 方法1、作AD⊥BC于点D，设出AD=x米，在Rt△ACD中，得出CD=$\sqrt{3}$x，在Rt△ABD中，得出BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，最后用CD+BD=80建立方程即可得出结论；
方法2、先判断出△ABC是直角三角形，利用含30°的直角三角形的性质得出AB，AC，再利用同一个直角三角形，两直角边的积的一半和斜边乘以斜边上的高的一半建立方程求解即可．

解答 解：方法1、过点A作AD⊥BC于点D．        
根据题意，∠ABC=90°-30°=60°，∠ACD=30°，
设AD=x米，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD=$\frac{AD}{tan∠ACD}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=$\frac{AD}{BD}$，
∴BD=$\frac{AD}{tan∠ABC}$=$\frac{x}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴BC=CD+BD=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=80
∴x=20$\sqrt{3}$
答：该河段的宽度为20$\sqrt{3}$米．
故答案是：20$\sqrt{3}$米．

方法2、过点A作AD⊥BC于点D．
根据题意，∠ABC=90°-30°=60°，∠ACD=30°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=80m，∠ACB=30°，
∴AB=40m，AC=40$\sqrt{3}$m，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×AC=$\frac{1}{2}$×40×40$\sqrt{3}$=800$\sqrt{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×80×AD=40AD=800$\sqrt{3}$，
∴AD=20$\sqrt{3}$米
答：该河段的宽度为20$\sqrt{3}$米．
故答案是：20$\sqrt{3}$米．

点评 此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．