Question

如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与
OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．
（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ=

 

；
（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处（如图3），求a的值．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：（1）延长ND交OA的延长线于M，根据折叠性质得∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，由点D为AB的中点得到D点为MN的中点，所以OD垂直平分MN，则OM=ON，根据等腰三角形的性质得∠MOD=∠NOD=θ，则∠θ+∠θ+∠θ=90°，计算得到∠θ=30°；
（2）作ED⊥OA于D，根据折叠性质得AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，由于θ=45°，AB⊥直线l，即直线l平分∠AOC，则∠A=45°，所以△ADE为等腰直角三角形，则AD=DE=2，所以OA=OD+AD=3+2=5，即a=5．

解答：解：（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，
∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，
∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，
∵点D为AB的中点，
∴D点为MN的中点，
∴OD垂直平分MN，
∴OM=ON，
∴∠MOD=∠NOD=θ，
∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，
∴∠θ=30°；
故答案为30°；
（2）如图3，作ED⊥OA于D，
∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处，
∴AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，
∵θ=45°，AB⊥直线l，
即直线l平分∠AOC，
∴∠A=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了线段垂直平分线的性质．