Question

如图所示，△ABC是等边三角形，AB=6，D、E分别为BC、AC上一点，∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，CE=y，求y与x的函数表达式．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，再根据三角形外角性质得∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，而∠ADE=60°，所以∠EDC=∠BAD，于是可判断△ABD∽△DCE；
（2）根据等边三角形三角形性质得BC=AB=6，再由△ABD∽△DCE，然后利用相似比得到

6

6-x

=

x

y

，然后整理即可．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
而∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠BAD，
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=6
∵BD=x，
∴DC=6-x，
∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

DC

=

BD

CE

，即

6

6-x

=

x

y

，
∴y=-

1

6

x²+x（0＜x＜6）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．也考查了等边三角形的性质．