Question

17．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BFCE是菱形？

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠DBF=∠DCE，由ASA即可证明△BDF≌△CDE；
（2）由△CDE≌△BDF，得出DE=DF，证出四边形BFCE是平行四边形，再由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BC，即可证出四边形BFCE是菱形．

解答 （1）证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵CE∥BF，
∴∠DBF=∠DCE，
在△BDF和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠DCE}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\\{∠BDF=∠CDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE（ASA）；
（2）解：当△ABC是等腰三角形，即AB=AC时，四边形BFCE是菱形；理由如下：
∵△BDF≌△CDE，
∴DF=DE，
∵BD=CD，
∴四边形BFCE是平行四边形，
在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
即EF⊥BC
∴四边形BFCE是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、菱形的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．