Question

19．如图，点E、F位于正方形ABCD边BC、CD上．
（1）当BE：EC=2：1，∠EAF=30°时，求CF：FD的值；
（2）若tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，tan∠DAF=$\frac{1}{3}$，求∠EAF的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AF、BC交于点M，作MH⊥AE交AE的延长线于H．设正方形的边长为3a，则BE=2a，EC=a，由△ABE∽△MHE，推出$\frac{AB}{BE}$=$\frac{MH}{HE}$=$\frac{3}{2}$，设HE=2k，MH=3k，
由tan∠MAH=$\frac{HM}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，列出方程求出a，求出CM，再由CM∥AD，得到$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CM}{AD}$，由此即可解决问题．
（2）如图2中，连接EF，作FM⊥AE于M．设正方形的边长为6a，则BE=EC=3a，DF=2a，CF=4a，AE=3$\sqrt{5}$a，AF=2$\sqrt{10}$a，由S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•FM=36a²-$\frac{1}{2}$•6a•3a-$\frac{1}{2}$•4a•3a-$\frac{1}{2}$•6a•2a=15a²，可得FM=2$\sqrt{5}$a，根据sin∠MAF=$\frac{MF}{AF}$，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，延长AF、BC交于点M，作MH⊥AE交AE的延长线于H．

设正方形的边长为3a，则BE=2a，EC=a，
∵∠AEB=∠MEH，∠B=∠H=90°，
∴△ABE∽△MHE，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{MH}{HE}$=$\frac{3}{2}$，设HE=2k，MH=3k，
∵tan∠MAH=$\frac{HM}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{3k}{2k+\sqrt{13}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴k=$\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{3}-2}$a，
∴EM=$\sqrt{13}$k=$\frac{39\sqrt{3}+26}{23}$a，
∴CM=EM-EC=$\frac{39\sqrt{3}+3}{23}$a，
∵CM∥AD，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CM}{AD}$=$\frac{\frac{39\sqrt{3}+3}{23}a}{3a}$=$\frac{13\sqrt{3}+1}{23}$．

（2）如图2中，连接EF，作FM⊥AE于M．

设正方形的边长为6a，则BE=EC=3a，DF=2a，CF=4a，AE=3$\sqrt{5}$a，AF=2$\sqrt{10}$a，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•FM=36a²-$\frac{1}{2}$•6a•3a-$\frac{1}{2}$•4a•3a-$\frac{1}{2}$•6a•2a=15a²，
∴FM=2$\sqrt{5}$a，
∴sin∠MAF=$\frac{MF}{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}a}{2\sqrt{10}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠EAF=45°．

点评 本题考查正方形的性质、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．