Question

2．如图，圆O（圆心为O）与直线l相离，作OP⊥l，P为垂足．设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作圆O的两条切线QA和QB，A和B为切点，AB与OP相交于点K．过点P作PM⊥QB，PN⊥QA，M和N为垂足．求证：直线MN平分线段KP．

Answer 1

分析 连接AO，BO，作PI⊥AB于I，记J为直线MN与线段PK的交点，根据切线的性质得到∠QAO=∠QBO=∠QPO=90°，推出O、B、Q、P、A均在以线段OQ为直径的圆周上，由西姆松定理知△QAB的外接圆上一点P在其三边的垂足N、M、I三点共线，即N、M、J、I四点共线，根据平行线的性质得到∠POQ=∠IPO，根据圆周角定理得到∠PLJ=∠PIM=∠PAM=∠POQ，即可得到结论．

解答 连接AO，BO，作PI⊥AB于I，记J为直线MN与线段PK的交点，
∵QA，QB是⊙O的两条切线，
∴∠QAO=∠QBO=∠QPO=90°，
故O、B、Q、P、A均在以线段OQ为直径的圆周上，
∵PM⊥QB，PN⊥QA，
由西姆松定理知：△QAB的外接圆上一点P在其三边的垂足N、M、I三点共线，
即N、M、J、I四点共线，
∵QO⊥AB，PI⊥AB，
∴QO∥PI，
∴∠POQ=∠IPO，
∵P、A、I、N四点共圆，P、A、O、Q也四点共圆，
∴∠PLJ=∠PIM=∠PAM=∠POQ，
在直角三角形PIK中，∠PLJ=∠JPI，
∴J为PK的中点，
∴直线MN平分线段KP．

点评 本题考查了四点共圆，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，切线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．