Question

【题目】如图，一次函数y＝﹣x+7的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A，点P（t，0）是x正半轴上的一个动点．

（1）点A的坐标为（　 　，　 　）；

（2）如图1，连接PA，若△AOP是等腰三角形，求点P的坐标：

（3）如图2，过点P作x轴的垂线，分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B，C．是否存在正实数，使得BC＝OA，若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，3）；（2）P（5，0）或（8，0）或（，0）；（3）t＝．

【解析】

（1）解方程组即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到OA＝＝5，当OP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，当AP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，当OP＝PA时，△AOP是等腰三角形，于是得到结论；

（3）由P（t，0），得到B（t，t），C（t，﹣t+7），根据BC＝OA，解方程即可得到结论．

解：（1）解得，

∴点A的坐标为（4，3），

故答案为：（4，3）；

（2）∵A（4，3），

∴OA＝＝5，

当OP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，

∴P（5，0），

当AP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，

则OP＝8，

∴P（8，0）；

当OP＝PA时，△AOP是等腰三角形，

则点P在OA的垂直平分线上，

如图1，设OA的垂直平分线交OA于H，

∴OH＝OA＝，

过A作AG⊥x轴于G，

∴△OPH∽△OAG，

∴，

∴，

∴OP＝，

∴P（，0），

综上所述，P（5，0）或（8，0）或（，0）；

（3）∵P（t，0），

∴B（t，t），C（t，﹣t+7），

∵BC＝OA，

∴﹣t+7﹣t＝×5或t+t﹣7＝×5，

解得：t＝﹣或t＝，

∵t＞0，

∴t＝．