Question

已知：如图，在?ABCD中，点E在BC边上，连接AE． O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．
（1）求证：△AOF≌△EOB，
（2）判断当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
（3）当∠ABC=

 

时，四边形AECD为等腰梯形（只写结论，不需证明）．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）先由平行四边形的性质得出AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠FAO=∠BEO，∠AFO=∠EBO，又O为AE中点，根据AAS即可证明△AOF≌△EOB；
（2）根据平行四边形性质得出AD∥BC，根据平行线的性质及角平分线定义得出∠DAE=∠AEB=∠BAE，由等角对等边得到AB=BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABEF是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
（3）根据∠B=60°，AB=BE得出等边三角形ABE，推出AB=AE=CD，根据BC∥AD和CE≠AD得出梯形AECD，根据等腰梯形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠FAO=∠BEO，∠AFO=∠EBO．
在△AOF与△EOB中，

∠FAO=∠BEO ∠AFO=∠EBO OA=OE

，
∴△AOF≌△EOB（AAS）；

（2）解：四边形ABEF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE．
由（1）知：△AOF≌△EOB，
∴OF=OB，
∵OA=OE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴平行四边形ABEF是菱形；

（3）解：当∠ABC为60度数时，四边形AECD是等腰梯形，理由如下：
∵AD∥BC，AD≠CE，
∴四边形AECD是梯形．
∵∠B=60°，由（2）知AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=AE，
∴梯形AECD是等腰梯形．
故答案为60°．

点评：本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度．