Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x²-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程可求得OA、OB的长，容易求得A、B两点的坐标；
（2）由勾股定理可求得AB，用t可表示出AP、QB、AQ的长，分△APQ∽△AOB和△APQ∽△ABO两种情况，可分别求得t的值，再利用三角函数可求得Q的坐标；
（3）由t=2可先求得Q点的坐标，分AP为边和对角线两种情况，由平行四边形的性质可求得QM=AP或AM=PQ，可分别求得M的坐标．

解答 解：（1）解方程x²-7x+12=0，得x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4，
∴A（0，3），B（4，0）；
（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．
△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：
①△APQ∽△AOB，如图（1）所示．

则有$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{5-2t}{5}$，解得t=$\frac{15}{11}$．
此时OP=OA-AP=$\frac{18}{11}$，PQ=AP•tanA=$\frac{20}{11}$，
∴Q（$\frac{20}{11}$，$\frac{18}{11}$）；
②△APQ∽△ABO，如图（2）所示．

则有$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{5-2t}{3}$，解得t=$\frac{25}{13}$．
此时AQ=$\frac{15}{13}$，AH=AQ•cosA=$\frac{9}{13}$，HQ=AQ•sinA=$\frac{12}{13}$，OH=OA-AH=$\frac{30}{13}$，
∴Q（$\frac{12}{13}$，$\frac{30}{13}$）．
综上所述，当t=$\frac{15}{11}$秒或t=$\frac{25}{13}$秒时，△APQ与△AOB相似，
所对应的Q点坐标分别为（$\frac{20}{11}$，$\frac{18}{11}$）或（$\frac{12}{13}$，$\frac{30}{13}$）；
（3）结论：存在．如图（3）所示．

∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．
过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=$\frac{4}{5}$，AE=AQ•cos∠QAP=$\frac{3}{5}$，
∴OE=OA-AE=$\frac{12}{5}$，
∴Q（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
∵?APQM₁，∴QM₁⊥x轴，且QM₁=AP=2，∴M₁（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$）；
∵?APQM₂，∴QM₂⊥x轴，且QM₂=AP=2，∴M₂（$\frac{4}{5}$，$\frac{22}{5}$）；
如图（3），过M₃点作M₃F⊥y轴于点F，
∵?AQPM₃，∴M₃P=AQ，∠QAE=∠M₃PF，∴∠PM₃F=∠AQE；
在△M₃PF与△QAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{M}_{3}PF=∠QAE}\\{{M}_{3}P=AQ}\\{∠P{M}_{3}F=∠AQE}\end{array}\right.$，
∴△M₃PF≌△QAE（ASA），
∴M₃F=QE=$\frac{4}{5}$，PF=AE=$\frac{3}{5}$，∴OF=OP+PF=$\frac{8}{5}$，∴M₃（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．
∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，
点M的坐标为：M₁（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$）或M₂（$\frac{4}{5}$，$\frac{22}{5}$）或M₃（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、相似三角形的判定和性质、三角函数、平行四边形的性质等知识点．在（1）中解出方程容易求得A、B坐标，在（2）中注意分两种情况讨论，在（3）中注意平行四边形平行的两边是分类的依据．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．