Question

如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．已知AB=5，DE=9，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,二次根式的应用

专题：

分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

解答：解：（1）∵AC=

AB2+BC2

=

25+(8-x)2

，
CE=

CD2+DE2

=

x2+81

，
∴AC+CE=

x2+81

+

25+(8-x)2

；

（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，
设BC=x，则AE的长即为代数的

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=

AF2+EF2

=

122+52

=13，
即

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值为13．

点评：此题主要考查了轴对称求最短路径，本题利用了数形结合的思想，求形如

x2+4

+

(12-x)2+9

的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．