Question

如图，AB是半圆O的直径，AE为弦，C为

AE

的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，BC交AE于点G．求证：AF=FC．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：首先证明∠B=∠CAF，再同角的余角相等证明∠B=∠ACE，进而得到∠CAF=∠ACF，最后利用等边对等角可得到结论AF=CF．

解答：证明：∵点C是弧AE的中点，
∴∠B=∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
又∠ACF+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACF
∴∠B=∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF．

点评：此题主要考查了圆周角定理，解决此题的关键是证明∠B=∠CAF=∠ACF．