Question

16．如图，已知二次函数y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}x$+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；
（2）将△AOC绕点D顺时针旋转90°得△PMN，A点对应的点为P点，判断点P是否在该抛物线上；
（3）在抛物线上是否存在点E，使得△EDC的面积为△OAC面积的$\frac{5}{8}$？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标；
（2）根据旋转的性质，可得M点、P点坐标，根据代入法将P点坐标代入，可得答案；
（3）根据三角形的面积，可得E点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}x$+4=0，
解得x₁=8，x₂=-2（不符合题意的解要舍去），即C（8，0），
当x=0时，y=4，即A（0，4），
故答案为：（0，4），（8，0）；
（2）如图，由旋转的性质，得
DM=OD=3，DM⊥x轴，即M（3，3），
MP=OA=4，4+3=7，即P（7，3），
当x=7时，y=-$\frac{1}{4}$×7²+$\frac{3}{2}$×7+4=2≠3，
P点不在抛物线的图象上；
（3）OA=4，OC=8，DC=8-4=4，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$×8×4=16，
S_△EDC=$\frac{1}{2}$DC•|y_E|=$\frac{5}{8}$×S_△AOC=10，
|y_E|=4，
解得y=4或y=-4，
当y=4时，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}x$+4=4，化简得x²-6x=0，解得x₁=6，x₂=0，即E₁（6，4），E₂（0，4）；
当y=-4时，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}x$+4=-4，化简，得x²-6x-32=0，解得x₁=3+$\sqrt{41}$，x₂=3-$\sqrt{41}$，即E₃（3+$\sqrt{41}$，-4），E₄（3-$\sqrt{41}$，-4），
综上所述：E₁（6，4），E₂（0，4）；E₃（3+$\sqrt{41}$，-4），E₄（3-$\sqrt{41}$，-4）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系得出点的坐标；（2）利用旋转的性质得出P点坐标是解题关键，又利用了点的坐标满足函数解析式点在函数图象上；（3）利用三角形的面积的出关x的方程是解题关键．