Question

12．如图，线段AB的长为5，C为线段AB上一动点（与点A、B不重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和BCE，若AD=x，BE=y，那么x²+y²最小值是$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质可用BC把DE²表示出来，再利用二次函数的性质可求得答案．

解答 解：
在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD=CD，CE=BE，∠ACD=∠A=45°，∠ECB=∠B=45°
∴∠DCE=90°
∴AD²+CD²=AC²，CE²+BE²=CB²
∴CD²=$\frac{1}{2}$AC²，CE²=$\frac{1}{2}$CB2，
∴DE²=DC²+EC²=$\frac{1}{2}$AC²+$\frac{1}{2}$CB2=$\frac{1}{2}$（AC+BC）²-AC•BC=$\frac{25}{2}$-BC（5-BC）=BC²-5BC+$\frac{25}{2}$=（BC-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴当CB=$\frac{5}{2}$时，DE²有最小值的值最小，
即x²+y²的最小值为$\frac{25}{4}$，
故答案为：$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查等腰直角三角形的性质，由条件确定出DE²取最小值时的条件是解题的关键