Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F．
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=$\frac{1}{2}$时，若CD=$\sqrt{5}$，求AD长．

Answer 1

分析 （1）证明△BEF∽△DAF，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）求出tan∠ABD=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，设AF=x，则BF=2x，由勾股定理求出x=1，AF=1，BF=2，得出DF=4，再由勾股定理即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵点E为BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=2BF

（2）解：∵CD=$\sqrt{5}$，
∴AB=CD=$\sqrt{5}$，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∴tan∠ABD=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴设AF=x，则BF=2x，
∴AB=$\sqrt{A{F}^{\;}2+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，
∴x=1，AF=1，BF=2，
∵DF=2BF，
∴DF=4，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握平行四边形的对边平等且相等和相似三角形的判定与性质是解题的关键．