题目内容
7．已知：抛物线y1=x2以点C为顶点且过点B，抛物线y2=a2x2+b2x+c2以点B为顶点且过点C，分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线y1=x2、y2=a2x2+b2x+c2于点A、D，E、F分别为AB、CD中点，连结EC、BF，且AE=BF．
（1）如图1，①求证：四边形ECFB为正方形；②求点A的坐标；
（2）①如图2，若将抛物线“y1=x2”改为“y1=x2+1”，其他条件不变，求CD的长；
②如图3，若将抛物线“y1=x2”改为“y1=-$\frac{1}{3}{x^2}+{b_1}x+{c_1}$”，其他条件不变，求a2的值；
（3）若将抛物线“y1=x2”改为抛物线“y1=a1x2+b1x+c1”，其他条件不变，请用含b2的代数式表示b1．
分析 （1）①由于AB∥x轴，显然点A、B关于抛物线y1=x2的对称轴对称，可得AC=BC，已知AE=BE，又由抛物线y2=a2x2+b2x+c2以点B为顶点且过点C，分别过点B、C作x轴的平行线，可证得四边形ECFB为正方形；
②由抛物线y1的解析式设出点A的坐标，再根据四边形ECFB为正方形列出点A横、纵坐标的关系式，以此确定点A的坐标．
（2）①由四边形ECFB为正方形，可得CF=BF，又由C（0，1），可设B（x，x+1）且x＞0，继而求得答案；
②将y1的解析式写成顶点式，即：y1=-$\frac{1}{3}$（x-h）2+k，首先根据正方形的特点表达出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线y1的解析式中，由此求得m的值；抛物线y2以点B为顶点，可先写成顶点式，再将点A的坐标代入其中来确定a2的值．
（3）在（2）①的解答过程中，我们不难看出$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=m=-|$\frac{1}{{a}_{1}}$|，而$\frac{1}{2}$AB的长度正好是两个抛物线对称轴的差的绝对值，那么可以拿$\frac{1}{2}$CD的长来作为等量关系列出关系式，据此求得b1、b2的关系式．
解答 解：（1）①证明：∵AB∥x轴，
∴A、B关于y轴对称，即AE=BE；
又∵AE=BF，
∵AB∥x轴，
∴∠ECF=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=∠EBF=90°，
∴四边形ECFB为矩形，
∴矩形ECFB为正方形；
②∵四边形ECFB为正方形，
∴CF=BF，
设点B（x，x）且x＞0，
∴x=x2，
解得：x=1，
∴点B（1，1），
∴点A（-1，1）；
（2）①∵四边形ECFB为正方形，
∴CF=BF，
∵C（0，1），
设B（x，x+1）且x＞0，
∴x+1=x2+1，
解得：x=1，
∴点B（1，2），
∴CF=1，
∴CD=2；
②设y1=-$\frac{1}{3}{x^2}+{b_1}x+{c_1}$=-$\frac{1}{3}$（x-h）2+k，则C（h，k）、B（h+m，k+m），
∵B在y=-$\frac{1}{3}$（x-h）2+k上，
∴k+m=-$\frac{1}{3}$（h+m-h）2+k，
解得：m=-3，
∴B（h-3，k-3），
∴y2=a2x2+b2x+c2=a2（x-h+3）2+k-3，
代入C（h，k），
∴k=a2（h-h+3）2+k-3，
解得：a2=$\frac{1}{3}$；
（3）由（2）②知，a2=-a1；
由（2）①知，$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD=m=-|-$\frac{{b}_{1}}{{2a}_{1}}$-（-$\frac{{b}_{2}}{2{a}_{2}}$）|=-|$\frac{{b}_{1}+{b}_{2}}{2{a}_{1}}$|，
∵m=-|$\frac{1}{{a}_{1}}$|[由（2）可知]，
∴|$\frac{{b}_{1}+{b}_{2}}{2{a}_{1}}$|=|$\frac{1}{{a}_{1}}$|，
解得：b1+b2=±2，
∴b1=-b2+2或b1=-b2-2．
点评 此题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的性质以及正方形的判定与性质．注意掌握二次函数的对称性与点与坐标的关系是关键．
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