Question

6．如图1，抛物线y=-x²+（k-1）x+k（k＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点D在第一象限，并且抛物线的对称轴与x轴相交于点E，DE=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上的点，连接AP，与对称轴相交于点Q，PH⊥DE，垂足为H，设PH=m，DQ=d，求出d与m的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是抛物线上一点，连接AD、AF，AP平分∠DAF，连接DP、BQ，当DP∥BQ时，求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据定点的坐标等于DE，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据对称轴公式，可得D点坐标；根据矩形的判定与性质，可得PH与KE的关系，根据同一个角的正切值，可得QE，根据线段的和差，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B点坐标，根据平行线的性质，可得∠PDH=∠BQE，根据等角的正切值相等，可得m的值，根据全等三角形的判定与性质，可得DP与PM的关系，根据终点坐标，可得M的坐标，根据待定系数法，可得AM，跟解方程组，可得答案．

解答 解：（1）∵D为抛物线的顶点，DE=4，
∴$\frac{4×（-1）k-（k-1）^{2}}{4×（-1）}$=4，
解得k₁=3，k₂=-5（舍），
∴抛物线的解析式y=-x²+2x+3；
（2）解：对称轴为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴顶点坐标为（1，4），
设P[1+m，-（1+m²）+2（1+m）+3]，
如图1，过P作PK⊥x轴于点K，
∵对称轴与x轴交于E点，
∴DE⊥x轴，又∵PH⊥DE，
∴∠DEB=∠PKO=∠PHQ=90°，
∴四边形PHEK是矩形，
∴PH=KE=m，
∵tan∠PAK=$\frac{PK}{AK}$=$\frac{QE}{AE}$，
∴$\frac{-（1+m）^{2}+2（1+m）+3}{（1+m）-（-1）}$=$\frac{QE}{1-（-1）}$
∴QE=-2m+4，
∴d=DQ=DE-QE=4-（-2m+4）=2m；
（3）解：当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
∵DP∥BQ，
∴∠PDH=∠BQE，
tan∠PDH=tan∠BQE，$\frac{PH}{DH}$=$\frac{BE}{QE}$，
∴$\frac{m}{4-[-（1+m）^{2}+2（1+m）+3}$=$\frac{2}{-2m+4}$，
∴m₁=0舍），m₂=1，P（2，3）．
由勾股定理，得
AD=2$\sqrt{5}$，DP=$\sqrt{2}$，PA=3$\sqrt{2}$．
∵AD²=DP²+AP²，
∴∠APD=90°．
如图2，延长DP交射线AF于点M，
在△ADP和△AMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠MAP}\\{AP=AP}\\{∠ADP=∠AMP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△AMP（ASA），
∴PD=PM．
∵D（1，4），P（2，3），
∴M（3，2）．
由A，M点，得
AM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$
联立AM与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{5}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（舍），
F点的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用DE的长得出k值是求函数解析式的关键；（2）利用了矩形的判定与性质，利用正切值相等得出QE是解题关键；（3）利用全等三角形的判定与性质得出PD=PM是解题关键，又利用方程组得出抛物线与直线的交点坐标．