Question

四边形ABCD中，AB=

3

，BC=CD=DA=1．当△ABD和△BCD的面积的平方和为最大时，试确定△ABD为何种三角形？并证明你的结论．

Answer 1

考点：面积及等积变换,正弦定理与余弦定理,等腰三角形的判定,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：证明题,配方法

分析：过点D作DE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，根据余弦定理可证得cosC=

3

cosA-1，然后根据三角形的面积公式及sin²α+cos²α=1，将△ABD和△BCD的面积的平方和用cosA的表达式表示，然后运用配方法可得当cosA=

3

6

时，△ABD和△BCD的面积的平方和最大，然后运用三角函数及勾股定理依次求出AE、BE、DE、BD的值，就可证到△ABD为等腰三角形．

解答：解：△ABD为等腰三角形．
理由如下：
过点D作DE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，如图，
则有DE=AD•sinA=sinA，DF=DC•sinC=sinC．
根据余弦定理可得：
DB²=AD²+AB²-2AD•AB•cosA=1+3-2

3

cosA=4-2

3

cosA，
DB²=DC²+BC²-2DC•BC•cosC=1+1-2cosC=2-2cosC，
∴4-2

3

cosA=2-2cosC，
∴cosC=

3

cosA-1．
∵AB=

3

，BC=CD=DA=1，
∴（S_△ABD）²+（S_△DBC）²=（

1

2

AB•DE）²+（

1

2

BC•DF）²
=（

3

2

•sinA）²+（

1

2

sinC）²=

3

4

sin²A+

1

4

sin²C．
=

3

4

（1-cos²A）+

1

4

（1-cos²C）=1-

3

4

cos²A-

1

4

cos²C
=1-

3

4

cos²A-

1

4

（

3

cosA-1）²=-

3

2

cos²A+

3

2

cosA+

3

4

=-

3

2

（cos²A-

3

3

cosA）+

3

4

=-

3

2

[（cosA-

3

6

）²-

1

12

]+

3

4

=-

3

2

（cosA-

3

6

）²+

7

8

，
∴当cosA=

3

6

时，（S_△ABD）²+（S_△DBC）²取到最大值为

7

8

，
此时AE=AD•cosA=

3

6

，BE=AB-AE=

5 3

6

，
DE=

AD2-AE2

=

11 12

，DB=

DE2+BE2

=

3

，
∴DB=AB=

3

，
∴△ABD为等腰三角形．

点评：本题主要考查了余弦定理、三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，还用到了公式sin²α+cos²α=1，运用配方法是解决本题的关键．