Question

已知，在△ABC中，分别以AB，AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是边BC的中点，求证：PM=PN．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：如图你作辅助线；首先证明MD=PQ、PD=NQ，∠MDP=∠PQN，然后运用SAS公理证明△MDP≌△PQN，即可解决问题．

解答：解：如图，分别取AB、AC的中点D、Q；
连接DM、DP；QN、QP；
∵点P为BC的中点，
∴DP∥AC，DP=

1

2

AC；同理可证：
PQ∥AB，PQ=

1

2

AB；
∴∠BDP=∠PQC=∠BAC（设为α）；
∵△ABM、△ACN均为等腰直角三角形，
且D、Q均为AB、AC的中点，
∴MD=

1

2

AB，NQ=

1

2

AC，∠MDB=∠NQC=90°，
∴MD=PQ、PD=NQ，∠MDP=∠PQN=90°-α；
在△MDP与△PQN中，

MD=PQ ∠MDP=∠PQN PD=NQ

，
∴△MDP≌△PQN（SAS），
∴PM=PN．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用全等三角形的判定及其性质、三角形的中位线定理等来分析、判断、解答．