题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y=-x2+4x-1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和 x轴的交点，点E 是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．
（2）求直线BD的表达式．
（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．
（1）点A的坐标为
（2）求直线BD的表达式．
（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据顶点坐标公式，可得A点坐标，根据自变量为0时，可得图象与y轴的交点；
（2）根据A、C点的坐标，可得AC的解析式，根据直线BD垂直AC与A点，可得BD的比例系数，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据菱形DERP，可得P、R的坐标，根据菱形DREP，可得P、R的坐标，根据点A点P的坐标，可得直线AP，根据AP⊥AQ，可得直线AQ，根据AQ的自变量为0，可得Q点的坐标．
（2）根据A、C点的坐标，可得AC的解析式，根据直线BD垂直AC与A点，可得BD的比例系数，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据菱形DERP，可得P、R的坐标，根据菱形DREP，可得P、R的坐标，根据点A点P的坐标，可得直线AP，根据AP⊥AQ，可得直线AQ，根据AQ的自变量为0，可得Q点的坐标．
解答：解：（1）y=-x2+4x-1图象的顶点
x=-
=-
=2，y=
=
=3，
∴点A的坐标为（2，3），
当x=0时，y=-1，
∴点C的坐标为（0，-1）；
（2）直线AC的解析式是y=2x-1，
过点A并与AC垂直的直线记为BD，
k BD=-
，
∴直线BD的表达式为：y=-
x+4；
（3）存在．
菱形DERP时，P1（8-
，0），Q1（0，
），R1（4-
，-1）；
菱形DREP时，P2（
，0），Q2（0，
），R2（，
，-1）．
x=-
| b |
| 2a |
| 4 |
| 2×(-1) |
| 4ac-b2 |
| 4a |
| 4×(-1)×(-1)-42 |
| 4×(-1) |
∴点A的坐标为（2，3），
当x=0时，y=-1，
∴点C的坐标为（0，-1）；
（2）直线AC的解析式是y=2x-1，
过点A并与AC垂直的直线记为BD，
k BD=-
| 1 |
| 2 |
∴直线BD的表达式为：y=-
| 1 |
| 2 |
（3）存在．
菱形DERP时，P1（8-
| 17 |
-3+2
| ||
| 3 |
| 17 |
菱形DREP时，P2（
| 47 |
| 8 |
| 5 |
| 12 |
| 49 |
| 8 |
点评：本题考查了二次函数的综合题，利用顶点的坐标公式，待定系数法，菱形的判定，注意菱形时，要分类R在E的左边，R在E的右边．
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