Question

【题目】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（　　）

A.③④B.②④C.②③D.①④

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，则x＝1时，a﹣b+c＜0，则可对②进行判断；由抛物线的对称轴方程得到b＝2a，而x＝﹣1时，a﹣b+c＝2，则a﹣2a+c＝2，、于是可对③进行判断；利用抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），可得到抛物线与直线y＝2只有一个公共点，于是可对④进行判断．

解：∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；

∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，

∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，

∴x＝1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②错误；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a，

∵x＝﹣1时，y＝2，

即a﹣b+c＝2，

∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），

即x＝﹣1时，y有最大值2，

∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，

∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．

故选：A．