Question

6．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）①依题意补全图1；
②若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；
（2）若设∠PAB=a，且0°＜a＜90°，求∠ADF的度数（直接写出结果，结果可用含a的代数式表示）
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）①根据题意直接画出图形得出即可；
②利用对称的性质以及等角对等边的性质，进而得出答案；
（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；
（3）由轴对称的性质可得：，进而利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）①如图1所示：

 ②如图2，

连接AE，由对称得，
∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=20°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADF=$\frac{180°-130°}{2}$=25°；
 （2）如图2，

连接AE，由对称得
∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=α，
∴∠EAD=90°+2α，
∴∠ADF=$\frac{180°-（90°+2α）}{2}$=45°-α．
（3）如图3，

连接AE、BF、BD，
由对称可知，EF=BF，AE=AB=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
在Rt△BDF中，BF²+FD²=BD²，
在Rt△ABC中，BD=$\sqrt{2}$AB，
∴EF²+FD²=2AB²．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．