Question

8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE=DF，若∠EAF=30°，则sin∠EDF=$\frac{（\sqrt{3}-1）\sqrt{7+2\sqrt{3}}}{\sqrt{37}}$．

Answer 1

分析 首先证明△ABE≌△ADF，设正方形ABCD边长为a，求出EC、ED即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠BAD=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAE=∠FAD=30°，
设正方形ABCD边长为a，
则tan30°=$\frac{BE}{AB}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴EC=a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，DE=$\sqrt{E{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$a
∴sin∠EDF=$\frac{EC}{ED}$=$\frac{a-\frac{\sqrt{3}}{3}a}{\frac{\sqrt{7-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}a}$=$\frac{（\sqrt{3}-1）•\sqrt{7+2\sqrt{3}}}{\sqrt{37}}$
故答案为$\frac{（\sqrt{3}-1）\sqrt{7+2\sqrt{3}}}{\sqrt{37}}$．

点评 本题考查正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是发现三角形全等，学会设参数解决问题，属于中考常考题型．