如图.点C为x轴上一动点.连接BC.△ODC和△EBC都是等边三角形．(1)求证:BO=DE．.当点D恰好落在BC上时.①求OC的长及点E的坐标,②在x轴上是否存在点P.使得△PEC为等腰三角形?若存在.写出点P的坐标,如不存在.说明理由．③如图(c).点M是线段BC上的动点.过点M作MG⊥BE于点G.MH⊥CE于点H.当点M运动时.MH+MG的值是否发生变化?如不会变化.直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图（a），已知点B（0，6），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
（1）求证：BO=DE．
（2）如图（b），当点D恰好落在BC上时，
①求OC的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；如不存在，说明理由．
③如图（c），点M是线段BC上的动点（点B，C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？如不会变化，直接写出MH+MG的值；如会变化，简要说明理由．

分析（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由点B（0，6），得到OB=6，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得CE=4$\sqrt{3}$，过E作EF⊥x轴于F，角三角形即可得到结论；②存在，如图d，当CE=CP=4$\sqrt{3}$时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，如图c，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答解：（1）∵△ODC和△EBC都是等边三角形，
∴BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，
∴∠OCB=∠DCE，
在△BCO与△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CE}\\{∠OCB=∠DCE}\\{OC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△ECD，
∴BC=CE；

（2）①∵点B（0，6），
∴OB=6，
由（1）知△BCO≌△ECD，
∴∠CDE=∠BOC=90°，
∴DE⊥BC，
∵△EBC是等边三角形，
∴∠DEC=30°，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=2$\sqrt{3}$，BC=4$\sqrt{3}$，
∴CE=4$\sqrt{3}$，
过E作EF⊥x轴于F，
∵∠DCO=∠BCE=60°，
∴∠ECF=60°，
∵CE=BC=4$\sqrt{3}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=6，
∴E（4$\sqrt{3}$，6）；
②存在，如图d，当CE=CP=4$\sqrt{3}$时，
∵OC=2$\sqrt{3}$，
∴OP₁=2$\sqrt{3}$，OP₂=6$\sqrt{3}$，
∴P₁（-2$\sqrt{3}$，0），P₂（6$\sqrt{3}$，0）；
当CE=PE，
∵∠ECP=60°，
∴△CPE是等边三角形，
∴P₂，P₃重合，
∴当△PEC为等腰三角形时，P（-2$\sqrt{3}$，0），或（6$\sqrt{3}$，0）；
③不会变化，如图c，连接EM，
∵S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•DE=$\frac{1}{2}$BE•GM+$\frac{1}{2}$CE•MN，
∵BC=CE=BE，
∴GM+MN=DE=6，
∴MN+MG的值不会发生变化．

点评本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

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