Question

9．在求1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶①然后在①式的两边都乘以2，得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷ ②；②-①得2S-S=2⁷-1，S=2⁷-1，即1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶=2⁷-1．
（1）求1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶的值；
（2）求1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁶（a≠0且a≠1）的值．

Answer 1

分析 （1）依照题意设设S=1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶值，然后在其两边同乘以3得3S=.3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶..+3⁷，再求出两式的差变形即可．
（2）可仿照（1）求解．

解答 解：（1）设S=1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶…①
则：3S=.3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶..+3⁷…②
②-①得：2S=3⁷-1
即：1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶=$\frac{1}{2}$（3⁷-1）．
（2）设S=1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁶…①
∵a≠0
∴aS=a+a²+a³+…+a²⁰¹⁶+a²⁰¹⁷…②
②-①得：（a-1）S=a²⁰¹⁷-1
∵a≠1
∴S=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$
即：1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁶=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$

点评 本题考查了数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，解题的关键是理解题目中所体现的一种解题方法与思路，培养学生的自学能力．