如图.已知∠MON=90°.A是∠MON内部的一点.过点A作AB⊥ON.垂足为点B.AB=3厘米.OB=4厘米.动点E.F同时从O点出发.点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动.点F以2厘米/秒的速度OM方向运动.EF与OA交于点C.连接AE.当点E到达点B时.点F随之停止运动．设运动时间为t秒(1)当t=1秒时.△EOF与△ABO是否相似?请说明理由,(2)在运动过程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）
（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值，总有EF⊥OA，为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_{四边形AEOF}
若存在，请求出此时t的值：若不存在，请说明理由．

分析（1）只要证明$\frac{OE}{AB}$=$\frac{OF}{OB}$，由∠MON=∠ABE=90°，即可证明△EOF∽△ABO．
（2）由Rt△EOF∽Rt△ABO．推出∠AOB=∠EFO，由∠AOB+∠FOC=90°，推出∠EFO+∠FOC=90°，由此即可证明．
（3）如图，连接AF，由S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_{四边形AEOF}，可得方程-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{25}{4}$t=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$t，解方程即可．

解答解：（1）∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{1.5}{3}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OF}{BO}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{OF}{OB}$，
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．

（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{OF}{OB}$，
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EFO．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EFO+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．

（3）如图，连接AF
∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4-1.5t
∴S_△FOE=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$×1.5t×2t=$\frac{3}{2}$t²，
S_△ABE=$\frac{1}{2}$×（4-1.5t）×3=6-$\frac{9}{4}$t，
S_梯形ABOF=$\frac{1}{2}$（2t+3）×4=4t+6，
∴S_△AEF=S_梯形ABOF-S_△FOE-S_△ABE=4t+6-$\frac{3}{2}$t²-（6-$\frac{9}{4}$t）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{25}{4}$t，
S_{四边形AEOF}=S_梯形ABOF-S_△ABE=4t+6-（6-$\frac{9}{4}$t）=$\frac{25}{4}$t，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_{四边形AEOF}
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{25}{4}$t=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$t，（0＜t＜$\frac{8}{3}$）
解得t=$\frac{25}{12}$或t=0（舍去），
∴当t=$\frac{25}{12}$时，S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_{四边形AEOF}．