Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点F，E，点D在AC的延长线上，且∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）若AB=6，BD=8，求tan∠CBD．

Answer 1

分析 （1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）过点C作CG⊥BD于点G，由勾股定理求出AD，得出CD，由平行线分线段成比例定理求出DG，由勾股定理求出CG，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接AE，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CAB．
∵∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠1=∠CBD，
∴∠CBD+∠2=90，
即∠ABD=90°，BD⊥AB，
∴直线BD是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥BD于点G．如图2所示：
在Rt△ABD中，AB=6，BF=8，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=10，
又∵AC=AB=6，
∴CD=4；
∵CG⊥BD，AB⊥BD，
∴CG∥AB，
∴$\frac{DG}{BD}=\frac{CD}{AD}$=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，
∴DG=$\frac{2}{5}$BD=$\frac{16}{5}$，
由勾股定理得：CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∴BG=BD-DG=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△BCG中，tan∠CBD=$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定方法，通过作辅助线求出CG和BG是解决问题（2）的关键．