Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（8，0），B（2，0），C（0，-6）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PB0C的周长最小？若存在，求出四边形PB0C周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式为y=a（x-8）（x-2），然后把C点坐标代入求出a=-$\frac{3}{8}$，于是得到抛物线解析式为y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{15}{4}$x-6；
（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=5，连结BC交直线x=5于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PB+PC=PC+PA=AC，根据两点之间线段最短得到PC+PB最短，于是可判断此时四边形PBOC的周长最小，然后计算出AC=10，再计算OC+OB+AC即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-8）（x-2），
把C（0，-6）代入得a•（-8）•（-2）=-6，解得a=-$\frac{3}{8}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{3}{8}$（x-8）（x-2），即y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{15}{4}$x-6；
（2）存在．
因为A（8，0），B（2，0），
所以抛物线的对称轴为直线x=5，
连结AC交直线x=5于点P，如图，则PA=PB，PB+PC=PC+PA=AC，此时PC+PB最短，
所以此时四边形PBOC的周长最小，
因为AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
所以四边形PBOC周长的最小值为2+6+10=18．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．