题目内容

1．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-4经过A（-4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

分析 （1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形的割补法，可得二次函数，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；
（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．

解答 解：（1）将A（-4，0），C（2，0）两点代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b-4=0}\\{4a+2b-4=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$
所以此函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x2+x-4；
（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为：（m，$\frac{1}{2}$m2+m-4），
∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB
=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$m2+m-4）+$\frac{1}{2}$×4×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-m2-2m+8-2m-8
=-m2-4m
=-（m+2）2+4，
∵-4＜m＜0，
当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．
答：m=-2时S有最大值S=4． 
（3）∵点Q是直线y=-x上的动点，
∴设点Q的坐标为（a，-a），
∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，
∴点P的坐标为（a，$\frac{1}{2}$a2+a-4），
∴PQ=-a-（$\frac{1}{2}$a2+a-4）=-$\frac{1}{2}$a2-2a+4，
又∵OB=0-（-4）=4，
以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，
∴|PQ|=OB，
即|-$\frac{1}{2}$a2-2a+4|=4，
①-$\frac{1}{2}$a2-2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，
解得a=0（舍去）或a=-4，
-a=4，
所以点Q坐标为（-4，4），
②-$\frac{1}{2}$a2-2a+4=-4时，整理得，a2+4a-16=0，
解得a=-2±2$\sqrt{5}$，
所以点Q的坐标为（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$）或（-2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$）．
综上所述，Q坐标为（-4，4）或（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$）或（-2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考查了二次函数综合题，有待定系数法求二次函数解析式；利用图形割补法得出二次函数的最值问题是解题关键；平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．

练习册系列答案
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（1）按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第几次购买？
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