Question

16．如图，直线y=-$\frac{3}{2}$x+6分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+8，与y轴交于点D，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，过点P作PC⊥x轴于点C．

（1）点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，8）；
（2）探究发现：
①假设P与点D重合，则PB+PC=10；（直接填写答案）
②试判断：对于任意一点P，PB+PC的值是否为定值？并说明理由；
（3）试判断△PAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）①根据线段的和差，可得PB，可得答案；
②根据勾股定理，可得PB的长，根据线段和差，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）y=-$\frac{3}{2}$x+6当y=0时，x=4，即A（4，0），
y=-$\frac{1}{8}$x²+8当x=0时，y=8，即D点坐标（0，8），
故答案为：（4，0），（0，8）；
（2）①PB=PO-OB=8-6=2，PB+PC=8+2=10；
②是，理由如下：
过点P作PQ⊥y轴于点Q，
∵P在抛物线上，且在第一象限，
∴设P点坐标为（x，-$\frac{1}{8}$x²+8）．
则PQ=x，PC=-$\frac{1}{8}$x²+8．
当4≤x＜8时，PB=$\sqrt{{x}^{2}+[6-（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8）]^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{64}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{8}$x²+2，
∴PB+PC=$\frac{1}{8}$x²+2+（-$\frac{1}{8}$x²）+8=10，
当0＜x＜4时，同理可得；
（3）存在．
设△PAB的面积为S．
由（2）假设．
当4≤x＜8时，有S=$\frac{（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8+6）•x}{2}$-$\frac{4×6}{2}$-$\frac{（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8）（x-4）}{2}$
=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13．
当0＜x＜4时，s=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13．
当x=6时，S_最大=13，y=-$\frac{1}{8}$×36+8=$\frac{7}{2}$，
∴△PAB的面积存在最大值，且最大值为13，此时点P的坐标为（6，$\frac{7}{2}$）

点评 本题考查了二次函数综合题，利用勾股定理得出PB的长是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．