Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：BC²=BD•BA；
（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）通过证明△BCD∽△BAC，利用相似比得到结论；
（2）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切．

解答：（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BDC，
又∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴

BC

BA

=

BD

BC

，
即BC²=BA•BD；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：
连结DO，如图，
∵∠BDC=90°，E为BC的中点，
∴DE=CE=BE，
∴∠EDC=∠ECD，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．