Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO为梯形，C在x轴上，AB∥OC，OB⊥BC，点B的坐标是（

32

5

，

24

5

），点D为OC的中点．
（1）求点D的坐标；
（2）若点P从点O出发，以每秒4个单位长度的速度沿线段OB向终点B运动．过点P作OB的垂线，交x轴于点E，交射线BD于点F，设点P运动时间为t秒，EF的长为y，求y与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接CF，是否存在这样的t值，使∠ECF=

1

2

∠AOB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理，可得OB²，BC²，OC²，再根据勾股定理，可得关于a的方程，根据线段中点的性质，可得D点坐标；
（2）分类讨论：当0＜t＜1时，②当1＜t＜2时，根据像三角形的性质，可得y与t的关系式；
（3）根据余角的性质，可得∠AOB=∠C，根据角平分线的性质，可得FB与FE的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得CE的长，根据相似三角形的性质，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）如图1，做BE⊥OC于E点．
，
设C（a，0），由勾股定理，得
OB²=OE²+OB²=（

32

5

）²+（

24

5

）²，
BC²=CE²+BE²=（a-

32

5

）²+（

24

5

）²，
OC²=OB²+BC²，即（

32

5

）²+（

24

5

）²+（a-

32

5

）²+（

24

5

）²=a²，
化简，得

64

5

a=128，
解得a=10，即C（10，0）；
由点D为OC的中点，得D（5，0）；
（2）设E点坐标为（a，0），
①当0＜t＜1时，如图2：
，
由△OPE∽△OBC，得

4t

8

=

a

10

，解得a=5t，
由△DEF∽△DCB，得

5-5t

10-5

=

y

6

，即y=-6t+6，（0＜t＜1）；
②当1＜t＜2时，如图3：

由△OPE∽△OBC，得

4t

8

=

a

10

，解得a=5t，
由△DEF∽△DCB，得

5t-5

10-5

=

y

6

，即y=6t-6，（1＜t＜2）；
（3）存在这样的t值，使∠ECF=

1

2

∠AOB，理由如下：
如图4：

作FE⊥OC与E点，
由∠C+∠BOC=90°，∠BOC+∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠C，
由∠ECF=

1

2

∠AOB，得∠ECF=

1

2

∠C，
∴FE=FB．
在Rt△FEC和RT△FBC中，

FE=FB CF=CF

，
Rt△FEC≌RT△FBC（HL），
CE=BC=6（全等三角形的对应边相等）．
OE=4，
由△OPE∽△OBC，得

OP

OB

=

OE

OC

，即

4t

8

=

4

10

，
解得t=

4

5

．

点评：本题考查了一次函数的综合题，（1）利用了勾股定理，线段中点的性质；（2）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（3）利用了余角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质．