Question

11．已知抛物线y=x²-2（m+1）x+2（m-1）
（1）求证：不论m取何值，抛物线必与x轴相交于两点；
（2）若抛物线与x轴的一个交点为（3，0），试求m的值及另一个交点的坐标；
（3）若抛物线与x轴的两个交点分布在点（4，0）左、右两侧，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只要证明△＞0即可．
（2）把（3，0）代入抛物线解析式，令y=0解方程即可．
（3）当x=4时，y＜0，列出不等式即可解决问题．

解答 解：（1）∵△=4（m+1）²-8（m-1）=4m²+12＞0，
∴不论m取何值，抛物线必与x轴相交于两点．

（2）把（3，0）代入y=x²-2（m+1）x+2（m-1）得到m=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=x²-$\frac{5}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
令y=0得到2x²-5x-3=0，
∴x=3或-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-$\frac{1}{2}$，0）．

（3）由题意16-8（m+1）+2（m-1）＜0，
∴m＞1．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点问题，记住△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，学会利用方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．