Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限内交于点C（1，m）．
（1）求m和n的值；
（2）过x轴上的点D（a，0）作平行于x轴的直线l（a＞1），分别与直线AB和双曲线y=$\frac{4}{x}$交于点P、Q，且PQ=2QD，求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （1）由直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限内交于点C（1，m）．把C（1，m）代入y=$\frac{4}{x}$，得m=4，把C（1，4）代入y=2x+n中得n=2；
（2）在y=2x+2中，令y=0，则x=-1，求得A（-1，0），求出P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），根据PQ=2QD，列方程2a+2-$\frac{4}{a}$=2×$\frac{4}{a}$，解得a=2，a=-3，即可得到结果．

解答 解：（1）∵直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限内交于点C（1，m）．
∴把C（1，m）代入y=$\frac{4}{x}$，得m=4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y=2x+n中得n=2，
∴m和n的值分别为：4，2；

（2）在y=2x+2中，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），
∵D（a，0），l∥y轴，
∴P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），
∵PQ=2QD，
∴2a+2-$\frac{4}{a}$=2×$\frac{4}{a}$，
解得：a=2，a=-3，
∵点P，Q在第一象限，
∴a=2，
∴PQ=4，
又∵AD=3
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．