Question

20．如图，△ABE、△ADF都是等边三角形，BF与ED交点C，
（1）如图1，求证BF=ED；
（2）如图2，求证：AC平分∠BCD；
（3）如图3，若∠EAF=30°，连接EF，EF⊥EA于E，连接BD交AF于G，FG=2$\sqrt{5}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形得：AB=AE，AF=AD，∠BAE=∠DAF=60°，所以∠BAF=∠EAD，根据SAS证明△BAF≌△EAD，则BF=ED；
（2）分别作△BAF和△EAD的高线AM、AN，根据面积法证明AM=AN，所以由角平分线的逆定理得：A在∠BCD的平分线上，即AC平分∠BCD；
（3）作辅助线，构建直角三角形，证明∠BND=90°，得直角△BND，设EF=x，根据30°角的性质和三角函数依次表示：FD=AF=2x，AE=BE=$\sqrt{3}$x，FN=$\frac{1}{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，在直角△BND，利用∠BDN的正切列式，求出DM的长，得出AF的长，最后求出EF的长．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AB=AE，AF=AD，∠BAE=∠DAF=60°，
∴∠BAE+∠EAF=∠DAF+∠EAF，
即∠BAF=∠EAD，
∴△BAF≌△EAD，
∴BF=ED；
（2）如图2，过A作AM⊥BF于M，AN⊥DE于N，
∵△BAF≌△EAD，
∴S_△BAF=S_△EAD，
∴$\frac{1}{2}$BF•AM=$\frac{1}{2}$DE•AN，
∵BF=DE，
∴AM=AN，
∴A在∠BCD的平分线上，即AC平分∠BCD；
（3）如图3，延长BE、DF交于N，过G作GM⊥DF于M，
∵△AFD是等边三角形，
∴∠GFM=60°，
在Rt△GFM中，sin∠GFM=$\frac{GM}{GF}$，
sin60°=$\frac{GM}{2\sqrt{5}}$，
GM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{15}$，
∵∠BAE=∠FAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠EAD=60°+60°+30°=150°，
∴∠ABD+∠ADB=180°-150°=30°，
∵∠EBA+∠FDA=60°+60°=120°，
∴∠EBD+∠FDB=120°-30°=90°，
∴∠BND=90°，
在Rt△AEF中，∠EAF=30°，
∴∠EFA=60°，
∴∠EFN=180°-∠AFD-∠EFA=60°，
∴∠NEF=30°，
设EF=x，则FD=AF=2x，AE=BE=$\sqrt{3}$x，FN=$\frac{1}{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
Rt△BND中，tan∠BDN=$\frac{BN}{ND}=\frac{GM}{DM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{1}{2}x+2x}$=$\frac{\sqrt{15}}{DM}$，
∴DM=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∴DF=AF=FM+DM=$\sqrt{5}$+$\frac{5\sqrt{5}}{3}$=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题是三角形的综合题，比较复杂，考查了等边三角形、直角三角形、全等三角形和特殊三角函数的性质；相对比，（1）和（2）难度适中，（3）比较复杂，第（3）巧妙构建直角△FGM和△BDN是关键；从已知FG入手，根据30°和60°的函数值依次求出各边长，得出最后的结论．