Question

14．平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（0，5）．B、C分别是x轴、y轴上的两个动点，C从A出发，沿y轴负半轴方向以1个单位/秒的速度向点O运动，点B从O出发，沿x轴正半轴方向以1个单位/秒的速度运动．设运动时间为t秒，点D是线段OB上一点，且BD=OC．点E是第一象限内一点，且AE${\;}_{=}^{∥}$DB．
（1）当t=4秒时，求过E、D、B三点的抛物线解析式．
（2）当0＜t＜5时，（如图甲），∠ECB的大小是否随着C、B的变化而变化？如果不变，求出它的大小．
（3）求证：∠APC=45°．
（4）当t＞5时，（如图乙）∠APC的大小还是45°吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意得到E（1，5），B（4，0），D（3，0），然后设过E、D、B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），待定系数法求出a、b和c的值；
（2）连接CE，根据SAS证明Rt△ACE≌Rt△OBC，即可CE=CB，∠ACE=∠OBC，∠AEC=∠OCB，结合角角之间的关系即可证明∠ECB=90°；
（3）由（2）知，CE=CB，∠ECB=90°，四边形ADBE是平行四边形，于是得到∠APC=∠EBC；
（4）在第二象限取点F，作AF$\underset{∥}{=}$BD，连接CF、BF，根据SAS证明Rt△ACF≌Rt△OBC，结合外角的性质即可证明∠APC＞45°．

解答 解：（1）当t=4秒时，AC=OB=4，由A（0，5）得C（0，1），即OC=1，又BD=OC，AE∥DB且AE=BD，
∴AE=DB=OC=1，
∴E（1，5），B（4，0），D（3，0），
设过E、D、B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
则有$\left\{\begin{array}{l}5=a+b+c\\ o=16a+4b+c\\ o=9a+3b+c\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=+\frac{5}{6}\\ b=-\frac{35}{6}\\ c=10\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{5}{6}{x^2}-\frac{35}{6}x+10$．

（2）∠ECB的大小不变，
如图1，连接CE，易得Rt△ACE≌Rt△OBC（SAS），
∴CE=CB，∠ACE=∠OBC，∠AEC=∠OCB，
又知∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠OCB=90°，
∴∠ECB=90°；

（3）由（2）知，CE=CB，∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴∠EBC=45°，
∵AE∥DB且AE=BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴AB∥BE，
∴∠APC=∠EBC=45°；

（4）当t＞5时，∠APC＞45°，
理由如下：
如图2，在第二象限取点F，作AF$\underset{∥}{=}$BD，
连接CF、BF，易得Rt△ACF≌Rt△OBC（SAS），
∴CF=CB，∠1=∠2，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠CBF=45°，
∵∠APC＞∠CBF（外角大于它不相邻的内角），
∴∠APC＞45°．

点评 本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，解答本题的关键是熟练利用SAS证明直角三角形的全等以及合理地作出辅助线，此题有一定的难度．