Question

16．如图，将正方形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕EF；展开后再次折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，折痕分别为BH，CI，如果正方形ABCD的边长是2，则下列结论：①△GBC是等边三角形；②△IGH的面积是7$\sqrt{3}$-12；③tan∠BHA=2+$\sqrt{3}$；④GE=2$\sqrt{3}$，其中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由折叠的性质得，AB=BG，CD=CG，根据正方形的性质得到AB=BC=CD，等量代换得到BG=BC=CG，推出△GBC是等边三角形；故①正确；根据正方形的性质得到AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠A=90°，由等边三角形的性质得到∠BGC=60°，GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，故④错误；推出∠FIG=30°，得到FI=$\sqrt{3}$FG=$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-3，根据三角形打麻将公式得到△HIG的面积=7$\sqrt{3}$-12，故②正确；根据勾股定理得到AH=HG=$\sqrt{H{F}^{2}+F{G}^{2}}$=4-2$\sqrt{3}$，由三角函数的定义得到tan∠BHA=$\frac{AB}{AH}$=$\frac{2}{4-2\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$；故③正确．

解答 解：由折叠的性质得，AB=BG，CD=CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∴BG=BC=CG，
∴△GBC是等边三角形；故①正确；
∵FE⊥BC，EF⊥AD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠A=90°，
又∵将正方形ABCD折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，
∵△GBC为等边三角形，
∴∠BGC=60°，GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，故④错误；
∴∠HGI=120°，FG=EF-GE=2-$\sqrt{3}$，
∴∠FIG=30°，
∴FI=$\sqrt{3}$FG=$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-3，
∴HI=2FI=4$\sqrt{3}$-6，
∴△HIG的面积=$\frac{1}{2}$HI•FG=$\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{3}$）（4$\sqrt{3}$-6）
=7$\sqrt{3}$-12，故②正确；
∵AH=HG=$\sqrt{H{F}^{2}+F{G}^{2}}$=4-2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BHA=$\frac{AB}{AH}$=$\frac{2}{4-2\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$；故③正确；
故选C．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．