Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx-3的图象经过点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线和直线CB的解析式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，求点P到直线BC的距离的最大值；
（3）已知点M（-$\sqrt{3}$，0），连CM，点D为CM的中点，点Q在y轴上，连接MQ，将△QCD沿直线QD折叠得到△QED，当△QED与△MDQ重叠部分面积是△MCQ的面积的$\frac{1}{4}$时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）设P（m，m²-2m-3），由题意当△PBC的面积最大时，点P到直线BC的距离的最大，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）分两种情形①如图1中，当重叠部分是△OKD时，②如图2中，当重叠部分是△DKQ时，分别求解即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）两点坐标代入y=ax²+bx-3得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∴C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为 y=x-3．

（2）设P（m，m²-2m-3），
由题意当△PBC的面积最大时，点P到直线BC的距离的最大，
∵S_△PBC=S_△PCO+S_△POB-S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×m+$\frac{1}{2}$×3×（-m²+2m+3）-$\frac{1}{2}$×3×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，△PBC的面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$，设点P到BC的距离为h，
则有$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×h=$\frac{27}{8}$，
∴h=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

（3）①如图1中，当重叠部分是△OKD时，

在Rt△OCM中，∵∠MOC=90°，OM=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴CM=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，tan∠OCM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠MCO=30°
∵DM=DC，
∴OD=DM=DC=OM=$\sqrt{3}$，
∴∠DOC=∠DCO=30°，∠MOD=30°，
当点Q与O重合时，易知∠EOD=∠DOC=30°，
∴∠EOD=∠EOM=30°，
∴MK=KD，
∴S_△OKD=$\frac{1}{4}$S_△MOC．
此时Q（0，0）．

②如图2中，当重叠部分是△DKQ时，

∵△QED与△MDQ重叠部分面积是△MCQ的面积的$\frac{1}{4}$，
∴MK=KQ，∵MD=DC，
∴ED∥OC，
∴∠QDE=∠DQC=∠QDC，
∴CD=CQ=$\sqrt{3}$，
∴Q（0，$\sqrt{3}$-3）．
综上所述，当Q（0，0）或（0，$\sqrt{3}$-3）时，△QED与△MDQ重叠部分面积是△MCQ的面积的$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考压轴题．