Question

如图，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G．
（1）求证：BC=BF；
（2）若AB=4，AD=3，求CF；
（3）求证：GB•DC=DE•BC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：（1）要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以；
（2）已知AB=4，AD=3，就是已知BC=BF=3，CD=4，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于

1

2

BD•CE=

1

2

BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理，就可以求出；
（3）欲证GB•DC=DE•BC，由BC=BF，即证GB：DE=BF：DC，即证△GBF∽△EDC即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDB+∠DBC=90°．
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°．
∴∠ECB=∠CDB．
又∵∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．
∴BF=BC；

（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
BD=

AB2+AD2

=

32+42

=5．
又∵BD•CE=BC•DC，
∴CE=

BC×DC

BD

=

12

5

．
∴BE=

BC2-CE2

=

9

5

．
∴EF=BF-BE=3-

9

5

=

6

5

．
∴CF=

CE2+EF2

=

6 5

5

；

（3）证明：∵四边形ABCD为矩形．FG∥DA与AB交于点G，CE⊥BD于E．
∴∠DBA=∠CDB，∠CED=∠BGF=90°．
∴△DEC∽△BGF．
∴GB：DE=BF：CD．
∴GB•CD=DE•BF．
∵BC=BF．
∴GB•DC=DE•BC

点评：本题主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，同时考查了等腰三角形边角之间的关系．