Question

13．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由矩形的性质和已知条件∠EDC：∠EDA=1：3，可得△CDE∽△ADE，再由AC=8，即可求得DE的长度．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=8，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°，
∴∠ODC=∠OCD=67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=45°，
∴OE=DE，
∵OE²+DE²=OD²，
∴2DE²=OD²=16，
∴DE=2$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质，根据已知得出OE²+DE²=OD²是解题关键．