Question

如图，△AOB中，∠O=90°，AB=5cm，OA=4cm．
（1）填空：OB=

 

cm．
（2）现将△AOB沿射线OB的方向平行移动后得到△DEF．
①当移动的距离为多少时，线段AB所扫过的面积是△AOB面积的4倍．
②当移动的距离是多少时，∠ABD是直角？

Answer 1

考点：平移的性质

专题：

分析：（1）由勾股定理可求得OB的长；
（2）①连接AD，则可知四边形ABFD为平行四边形，根据面积关系可求得BF和EF的关系，可得出答案；
②当∠ABD为直角时，可证明△AOB∽△BED，可求得BE的长，可求得BF，可得出答案．

解答：解：（1）在△AOB中，∠O=90°，AB=5cm，OA=4cm，由勾股定理可求得OB=3cm，
故答案为：3；
（2）①如图，连接AD，

∵△AOB沿射线OB的方向平行移动后得到△DEF，
∴AB∥DF，AB=DF，AO=DE，OB=EF，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴S_{四边形ABFD}=BF•DE=BF•AO=4BF，
又∵S_△AOB=

1

2

OB•AO=

1

2

EF•DE=2EF，
当S_{四边形ABFD}=4S_△AOB时，则有8EF=4BF，即BF=2EF=6cm，
∴当移动的距离为6cm时，线段AB所扫过的面积是△AOB面积的4倍；
②当∠ABD为直角时，则∠ABO+∠DBE=90°，
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠DBE，且∠AOB=∠∠DEB，
∴△AOB∽△BED，
∴

AO

BE

=

BO

DE

，即

4

BE

=

3

4

，解得BE=

16

3

cm，
∴BF=BE+EF=

16

3

+3=

25

3

（cm），
∴当移动距离为

25

3

cm时，∠ABD为直角．

点评：本题主要考查平移的性质及三角形相似的判定和性质，掌握平移前后的图形为全等图形是解题的关键．