Question

3．如图，反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，则下列结论正确的是（1）、（2）、（4）（将正确的结论填在横线上）．
①S_△OAD=S_△OCE；②$\frac{CE}{OA}$=$\frac{1}{4}$；③S_△OBE=6；④连接ED，则△BED∽△BCA．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函数上的任意一点P到x轴，y轴的垂足分别为A、B，则S_△POA=S_△POB都是反比例函数的比例系数的一半．
（2）利用矩形的对角线的交点是线段的中点，以及已知两端点的坐标确定出中点坐标，最后利用平行于x、y轴的直线上两点的距离公式计算方法．
（3）利用平行于x、y轴的直线上两点的距离公式表示出BE和OC即可．
（4）利用平行于x、y轴的直线上两点的距离公式表示出BE、BC、BD、AB，从而判断出这四条线段成比例即可．

解答 解：（1）反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象经过点D、E，则可设点D（a，$\frac{6}{a}$）、点E（b，$\frac{6}{b}$）（a＞0，b＞0）；
∴点A（a，0），点B（a，$\frac{6}{b}$），点C（0，$\frac{6}{b}$），
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=a，AD=$\frac{6}{a}$，OC=$\frac{6}{b}$，CE=b，
∴S_△OAD=$\frac{1}{2}$OA×AD=$\frac{1}{2}$a×$\frac{6}{a}$=3，
  S_△OCE=$\frac{1}{2}$OC×CE=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{b}$×b=3
∴S_△OAD=S_△OCE，
故（1）正确．
（2）∵点M是矩形对角线的交点，且在反比例函数y=$\frac{6}{x}$图象上，
∴点M是线段AC的中点，
∴M（$\frac{a}{2}$，$\frac{3}{b}$）
∵点M在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，
∴$\frac{a}{2}×\frac{3}{b}=6$，
∴$\frac{a}{b}=4$，
∴$\frac{CE}{OA}=\frac{b}{a}=\frac{1}{4}$，
故（2）正确．
（3）由（1）有点B（a，$\frac{6}{b}$），点E（b，$\frac{6}{b}$），OC=$\frac{6}{b}$，
∴BE=a-b
∴S_△OBE=$\frac{1}{2}$BE×OC=$\frac{1}{2}$（a-b）×$\frac{6}{b}$=3×$\frac{a}{b}$-3=9，
故（3）错误．
（4）由（1）有点A（a，0），点B（a，$\frac{6}{b}$），点D（a，$\frac{6}{a}$），点C（0，$\frac{6}{b}$），点E（b，$\frac{6}{b}$），
∴AB=$\frac{6}{b}$，BD=$\frac{6}{b}-\frac{6}{a}$，BC=a，BE=a-b，
∴BD：AB=（$\frac{6}{b}-\frac{6}{a}$）：$\frac{6}{b}$=（a-b）：a，
BE：BC=（a-b）：a，
∴BD：AB=BE：BC，
∵∠ABC=∠DBE（公共角）
∴△BED∽△BCA（两边答应成比例，夹角相等，两三角形相似），
故（4）正确．
故答案为（1），（2），（4）．

点评 本题是反比例函数综合题，主要考查了平面坐标系中平行于x（或y）轴的直线上两点的距离是横（或纵）坐标的差的绝对值，得到AB=$\frac{6}{b}$，BD=$\frac{6}{b}-\frac{6}{a}$，BC=a，BE=a-b求出BD：AB，BE：BC从而得出BD：AB=BE：BC，线段的中点坐标的确定．此题涉及到的知识点有：矩形的性质，线段的中点坐标的计算方法，两点之间的距离的计算相似三角形的判断，三角形面积的计算；解答本题的关键是利用同一个反比例函数的比例系数是定值，此题难点为三角形面积的计算方法．