Question

2．如图所示，已知点M（0，2），直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，P、Q分别是线段OA，AB上的动点，则PQ+MP的最小值是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，点M关于x轴的对称点N（0，-2），过点N作NQ⊥AB交OA于P，则NQ=PQ+PM的最小值，
根据直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4，得到B（0，4），∠OAB=30°，进一步得到∠ABO=60°，BN=4+2=6，解直角三角形得到结论．

解答 解：如图，点M关于x轴的对称点N（0，-2），过点N作NQ⊥AB交OA于P，
则NQ=PQ+PM的最小值，
∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，
∵B（0，4），∠OAB=30°，
∴∠ABO=60°，BN=4+2=6，
∴在Rt△BQN中，QN=sin60°•BN=3$\sqrt{3}$，
∴PM+MN的最小值是 3$\sqrt{3}$．
故答案为 3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E位置，属于中考常考题型．