Question

10．数学问题：计算数列8，5，2，…前n项的和．
探究问题：为解决上面的问题，我们从最简单的问题进行探究．
探究一：首先我们来认识什么是等差数列．
数学上，称按一定顺序排列的一列数为数列，其中排在第一位的数称为第一项，用a₁表示；排在第二位的数称为第二项，用a₂表示；…：排在第n位的数称为第n项，用a_n表示，并称a_n为数列的通项，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差，公差通常用d表示．
（1）根据以上表述：可得：a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，a₄=a₁+3d，…；
则通项a_n=a₁+（n-1）d；
（2）已知数列8，5，2，…为等差数列，请判断-100是否是此等差数列的某一项，若是，请求出是第几项；若不是，说明理由；
探究二：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出1+2+3+…+100的值．我们从这个算法中受到启发，用先方法计算数列1，2，3，…，n₀…的前n项和；
由$\frac{\left.\begin{array}{l}{1+2+…+n-1+n}\\{n+n-1+…+2+1}\end{array}\right.}{（n+1）（n+1）+…+（n+1）+（n+1）}$可知1+2+3+…+n=$\frac{（n+1）×n}{2}$．
（3）请你仿照上面的探究方式，解决下面的问题：
若a₁，a₂，a₃…，a_n为等差数列的前n项，前n项和S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
证明：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d．
解决问题：（4）计算：数列8，5，2，…前n项的和S_n（写出计算过程）．

Answer 1

分析 （1）由a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，a₄=a₁+3d…可知：序列号n比d的系数小1，故：a_n=a₁+（n-1）d．
（2）将-100代入通项公式求出n，若n为正整数就可以断定-100是此等差数列的某一项，反之则不是．
（3）可仿照探究二进行证明．

解答 解：（1）答案为：a_n=a₁+（n-1）d
（2）-100是此数列的某一项．理由如下：
∵在通项公式 a_n=a₁+（n-1）d 中，a_n=-100，a₁=8，d=5-8=-3，
∴8-3（n-1）=-100，解之得：n=37
即：-100是此数列的第37项
（3）证明：∵S_n=a₁ +a₂ +a₃ +…+a_n-1+a_n^…①
∴S_n=a_n +a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁ ^…②
则：①+②得  2S_n=n（a₁+a_n），
又∵a_n=a₁+（n-1）d，
∴2S_n=n[a₁+a₁+（n-1）d]，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d．
（4）∵a₁=8，d=-3，
∴由前n项和的公式S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d  得：
S_n=8n-$\frac{3n（n-1）}{2}$
∴S_n=$\frac{19n-3n^2}{2}$
即：此数列前n项的和S_n=$\frac{19n-3n^2}{2}$

点评 本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．