Question

4．若自然数x，y满足x＞y，x+y=2A，xy=G²，若A，G都是两位数，且互为反序数，求x，y．（注：数字排列顺序相反的两个数互为反序数，如12和21）

Answer 1

分析 设A=10a+b，则G=10b+a，其中a和b都是1到9的自然数，则求出（x+y）²=400a²+80ab+4b²，（x-y）²=2²×3²×11（a+b）（a-b），求出x-y=66，x+y=130，解方程组求出即可．

解答 解：设A=10a+b，则G=10b+a，其中a和b都是1到9的自然数，则
x+y=20a+2b，xy=（10b+a）²=100b²+20ab+a²，
∴（x+y）²=（20a+2b）²=400a²+80ab+4b²，
（x-y）²=（x+y）²-4xy=396a²-396b²=2²×3²×11（a+b）（a-b），
因为x、y都是自然数，所以（x-y）²是完全平方数，
所以（a+b）和（a-b）中必有一个是11的倍数，
∵a和b都是1到9的自然数，
∴a+b=11，
于是a-b也是一个完全平方数，
只能a=6，b=5，
所以（x-y）²=（2×3×11）²，
∴x-y=66，
x+y=20a+2b=130，
解得：x=98，y=32．

点评 本题考查了解二元一次方程组，完全平方公式的应用，能选择适当的方法得出x-y和x+y的值是解此题的关键．