Question

14．已知a使得关于x的方程$\frac{x-1}{x-2}$-$\frac{a}{2-x}$=a的解为正数，且满足关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-a≥0}\\{-3+2x≤1}\end{array}\right.$有解，这样的a的取值范围是（　　）

• A． 1＜a≤2
• B． a＜$\frac{1}{3}$且a≠-1
• C． 1＜a≤2或a＜$\frac{1}{3}$且a≠-1
• D． a＜2且a≠-1

Answer 1

分析 先根据关于x的方程$\frac{x-1}{x-2}$-$\frac{a}{2-x}$=a的解为正数，得到a的取值范围，再根据关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-a≥0}\\{-3+2x≤1}\end{array}\right.$有解，得到a的取值范围，两者联立即可求解．

解答 解：$\frac{x-1}{x-2}$-$\frac{a}{2-x}$=a，
方程两边都乘以（x-2）得，
x-1+a=a（x-2），
去括号得，x-1+a=ax-2a，
移项合并同类项得，（a-1）x=3a-1，
系数化为1得x=$\frac{3a-1}{a-1}$，
∵a使得关于x的方程$\frac{x-1}{x-2}$-$\frac{a}{2-x}$=a的解为正数，
∴$\frac{3a-1}{a-1}$＞0且$\frac{3a-1}{a-1}$≠2，
解得a＜$\frac{1}{3}$或a＞1，且a≠-1，
∵关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-a≥0}\\{-3+2x≤1}\end{array}\right.$有解，
∴a≤2，
故a的取值范围是1＜a≤2或a＜$\frac{1}{3}$且a≠-1．
故选：C．

点评 考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．