Question

15．使$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$取最小值的实数a的值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$=$\sqrt{（a-3）^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+{2}^{2}}$，可知欲求$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$的最小值，相当于在x轴上找一点P（a，0），d到A（1，2），B（3，5）的距离之和最小．

解答 解：∵$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$=$\sqrt{（a-3）^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+{2}^{2}}$，
欲求$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$的最小值，相当于在x轴上找一点P（a，0），d到A（1，2），B（3，5）的距离之和最小，
作点A关于x轴的对称点A′（1，-2），连接A′B交x轴于P，点P即为所求，
易知直线A′B的解析式为y=3x-4，令y=0，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，0），
∴a=$\frac{4}{3}$．
故答案为$\frac{4}{3}$

点评 本题主要考查了最短路线问题，利用了数形结合的思想，通过构建一次函数求解是解题关键．