Question

10．（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；
当A、B两都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|；

（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，那么x为-3或1；
③当代数式取|x+1|+|x-2|最小值时，相应的x的取值范围是-1≤x≤2；
④求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|的最小值．（提示：1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$）

Answer 1

分析 ①根据两点间的距离公式即可求解；
②根据两点间的距离公式可求数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x；
③求|x+1|+|x-2|的最小值，意思是x到-1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上；
④根据提示列出算式计算即可求解．

解答 解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2-5|=3，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|-2+5|=3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：|1+3|=4，
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是：|x+1|，
当|AB|=2，即|x+1|=2，
解得x=-3或1．
③若|x+1|+|x-2|取最小值，那么表示x的点在-1和2之间的线段上，
所以-1≤x≤2．
④解：当$x=\frac{1+2015}{2}=1008$时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|最小，
最小值为1+2+3+…+1007+0+1+2+3+…+1007
=（1+2+3+…+1007）×2
=$\frac{（1+1007）×1007}{2}×2$
=1015056．
故答案为：3，3，4；|x+1|，-3或1；-1≤x≤2．

点评 本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．绝对值是正数的数有2个．