Question

4．如图，直线l₁：y=x与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象c相交于点A（2，a），将直线l₁向上平移3个单位长度得到l₂，直线l₂与c相交于B，C两点，（点B在第一象限），交y轴于点D．
（1）求反比例函数的表达式并写出图象为l₂的一次函数的表达式；
（2）求B，C两点的坐标并求△BOD的面积．

Answer 1

分析 （1）先把A（2，a）代入y=x可求出a确定A点坐标，再把A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$中可求出k的值，从而得到反比例函数解析式，然后利用一次函数的几何变换确定图象为l₂的一次函数的表达式；
（2）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\ y=\frac{4}{x}\end{array}$可得B点和C点坐标，再求出直线y=x+3与y轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式计算．

解答 解：（1）∵点A（2，a）在y=x上，
∴a=2，则A（2，2），
∵点A（2，2）在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
将y=x向上平移3个单位，得l₂：y=x+3；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\ y=\frac{4}{x}\end{array}$得$\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}$，
∴B（1，4），A（-4，-1），
当x=0时，y=x+3=3，则D（0，3），
∴S_△OBD=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式．