Question

13．已知关于x的一元二次方程x²-ax+a=1．
（1）求证：对于任意实数a，方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是3，求a的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）要想证明对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根，只要证明△＞0即可；
（2）把方程的一根代入原方程求出a的值，然后把a的值代入原方程求出方程的另一个根．

解答 解：（1）∵²-ax+a=1，
∴²-ax+a-1=0，
∴△=a²-4×1×（a-1）=a²-4a+4=（a-2）²，
∵（a-2）²≥0，
∴对于任意实数a，方程总有实数根
（2）把x=3代入原方程，得a=4．
把a=4代入原方程，得x²-4x+3=0．
∴x₁=3，x₂=1．
∴方程的另一个根是1．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程的方法，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．