Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=

1

2

，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求该反比例函数的解析式；
（3）连接OC，OD，求△COD的面积；
（4）在反比例函数图象上找一点P，使S_△CPD=S_△COD，求出P点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）先根据正切的定义计算出OA，则可得到A点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）利用直线AB的解析式确定C点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（3）先解方程组

y=- 4 x y=- 1 2 x+1

得D点坐标为（4，-1），然后利用S_△OCD=S_△OAC+S_△OAD进行计算；
（4）由于S_△CPD=S_△COD，而两三角形同底，所以先求出与直线AB平行且到AB的距离等于点O到AB的距离的两条直线y=-

1

2

x和y=-

1

2

x+2，然后分别把它们与反比例函数解析式组成方程组，再解方程组即可得到P点坐标．

解答：解：（1）在Rt△ABO中，tan∠ABO=

OA

OB

=

1

2

，
而OB=2，则OA=1，
∴A点坐标为（0，1），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，1）、B（2，0）代入得

b=1 2k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=1

．
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+1；
（2）∵OE=2，
∴C点的横坐标为-2，
把x=-2代入y=-

1

2

x+1得y=-

1

2

×（-2）+1=2，
∴C点坐标为（-2，2），
设反比例函数解析式为y=

m

x

，
把C（-2，2）代入得m=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-

4

x

；
（3）解方程组

y=- 4 x y=- 1 2 x+1

得

x=4 y=-1

或

x=-2 y=2

，
S_△OCD=S_△OAC+S_△OAD
=

1

2

×1×2+

1

2

×1×4
=3；
（4）过原点与直线AB平行的直线解析式为y=-

1

2

x，
解方程组

y=- 4 x y=- 1 2 x

得

x=2 2 y=- 2

或

x=-2 2 y= 2

，
则P点坐标为（2

2

，-

2

）或（-2

2

，

2

）；
把直线y=-

1

2

x向上平移2个单位得y=-

1

2

x+2，
解方程组

y=- 4 x y=- 1 2 x+2

得

x=2+2 3 y=1- 3

或

x=2-2 3 y=1+ 3

，
则P点坐标为（2+2

3

，1-

3

）或（2-2

3

，1+

3

）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．